Trajectory Tracking in Linear Complementarity Systems and Frictional Oscillators
Poursuite de Trajectoires dans les Systèmes Linéaires de Complémentarité et les Oscillateurs à Frottement
Résumé
This thesis is concerned with trajectory tracking in Linear Complementarity Systems (LCSs). LCS is a subclass of Non-Smooth Dynamical Systems (NSDS) defined by the combination of differential equations and non-smooth constraints known as complementarity conditions. These conditions are represented by a Linear Complementarity Problem LCP, which has the form of $0\leq w \perp \lambda \geq 0$, where both variables $w=M\lambda+q$ and $\lambda$ are called complementarity variables. It is important to note that the difficulty in studying LCS stems from the non-smooth constraints represented by the complementarity problem, which can also induce state jumps. The main analytical tools for stability analysis and control design are passivity which is an input/output property, and the maximal monotonicity of the non-smooth part. The notion of passivity is studied before applying complementarity constraints between $w$, as the output of the system, and $\lambda$, considered as a virtual input. Matrix inequalities which arise from passivity play a crucial role in the control design process; thus, solving linear matrix inequalities (LMIs) is an important objective of this thesis.
The contributions of this work are theoretical results on the stability analysis of the error dynamics, where the error represents the difference between the trajectories of the real system and the desired system ({\em i.e.}, the system to be tracked). First, the nominal case without state jumps is tackled. Then, the study focuses on cases with state jumps, analyzing stability for both jumps at initial time and further state jumps. In this case, preserving passivity during the state jump is crucial for stability analysis. Furthermore, the analysis is extended to the case when parametric time-varying uncertainties are added to the dynamical system to be controlled, resulting in the boundedness of the error under strong passivity conditions, which can be relaxed under certain conditions. In addition, this thesis illustrates various numerical applications, with a particular focus on electrical circuits with ideal diodes. It also presents applications on networks with unilateral interactions and mechanical systems with unilateral springs.
Building on the theoretical contributions presented, this work is extended to address the challenges of trajectory tracking in frictional oscillators. Frictional oscillators with set-valued friction are studied due to their dynamics which are suitable for modeling within the LCS framework. Relaxing strong passivity conditions is essential for the analysis of trajectory tracking in the presence of uncertainties. Moreover, the set-valued friction model is enhanced by including the Stribeck effect which enables us to design a new control strategy based on passifying the friction model. The dynamics of the frictional oscillator introduce a complex control problem when incorporating pulley-belt dynamics into the analysis. This leads to a new contribution which is the design of a controller based on backstepping strategy, since the previous theoretical results on trajectory tracking in the nominal case could not be applied when considering the entire dynamical system.
Cette thèse se concentre sur la poursuite de trajectoires dans les Systèmes de Complémentarité Linéaire (LCS). Les LCS sont une classe de systèmes dynamiques non lisses (NSDS) définis par la combinaison d'équations différentielles et de contraintes non lisses, également connues sous le nom de conditions de complémentarité. Ces conditions sont représentées par un problème de complémentarité linéaire (LCP), de la forme 0 ≤ w ⊥ λ ≥ 0, où les deux variables w = Mλ + q et λ sont appelées variables de complémentarité. Il est important de noter que la difficulté de l'étude des LCS vient du caractère non régulier des contraintes, qui peuvent également engendrer des sauts d'état.
Le principal outil analytique pour l'analyse de la stabilité et la conception des commandes est la passivité, qui est une propriété entrée/sortie, ainsi que la monotonie maximale de la partie non régulière. La notion de passivité est étudiée avant d'appliquer des contraintes de complémentarité entre w, la sortie du système, et λ, l'entrée virtuelle. Les inégalités matricielles qui découlent de la passivité jouent un rôle crucial dans le processus de conception des commandes; ainsi, la résolution des inégalités matricielles linéaires (LMIs) est un objectif important de cette thèse.
Les contributions de ce travail donnent des résultats théoriques sur l'analyse de stabilité de la dynamique d'erreur, où l'erreur représente la différence entre les trajectoires du système réel et celles du système désiré. Tout d'abord, le cas nominal sans sauts d'état est abordé. Ensuite, l'étude se concentre sur les cas avec sauts d'état, en analysant la stabilité pour des sauts au moment initial et des sauts d'état suivants. Dans ce cas, la préservation de la passivité pendant le saut d'état est cruciale pour l'analyse de stabilité. En outre, l'analyse est étendue au cas où des incertitudes paramétriques variant dans le temps sont ajoutées au modèle du système dynamique à commander, ce qui se traduit par une erreur bornée garantie par la passivité forte, que l'on peut relaxer sous certaines conditions. De plus, cette thèse illustre diverses applications numériques, avec un accent particulier sur les circuits électriques avec diodes idéales. Elle présente également des applications sur des réseaux à interactions unilatérales et des systèmes mécaniques à ressort unilatéral.
En s'appuyant sur les contributions théoriques présentées, ce travail est étendu pour relever les défis de la poursuite de trajectoires dans les oscillateurs à frottement. Les oscillateurs à frottement, dont le frottement est supposé multi-valué lorsque la vitesse de glissement est nulle, sont étudiés en raison de leur dynamique, adaptée à la modélisation dans le cadre LCS. La relaxation des conditions de passivité forte est essentielle pour l'analyse du suivi de trajectoire en présence d'incertitudes. De plus, le modèle de frottement à valeurs multi-valuées est amélioré en incluant l'effet Stribeck, ce qui nous permet de concevoir une nouvelle stratégie de commande basée sur la passivation du modèle de frottement. Les dynamiques de l'oscillateur à frottement posent un problème de commande complexe lors de l'incorporation des dynamiques de poulie-courroie dans l'analyse. Cela conduit à une nouvelle contribution, qui est la conception d'une commande basée sur une stratégie appelée backstepping, car les résultats théoriques précédents sur la poursuite de trajectoires dans le cas nominal ne peuvent pas être appliqués lorsque l'on considère l'ensemble du système dynamique.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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